Определитель считать

Определитель считать

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.
определитель 4 порядка, пример

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются — выделено красным)
определитель 4 порядка, расписание на миноры
определитель 4 порядка, расписание на миноры
определитель 4 порядка, сведение к третьего порядка

В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников

определитель 3 порядка
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников

определитель 3 порядка
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
определитель 3 порядка, вычисления, правило треугольников
Найденные значения подставляем в выходной детерминант
определитель 4 порядка, суммирование

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

матричный калькулятор YukhymCALC

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

определитель YukhymCALC

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

определитель 4 порядка, задача

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

определитель 4 порядка, расписание по элементам столбца

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников

определитель 3 порядка

определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников

определитель 3 порядка
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников

определитель 3 порядка
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников

определитель 3 порядка,
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников
определитель 3 порядка, нахождения, правило треугольников

Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем
определитель 4 порядка, сумма

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

определитель 4 порядка, YukhymCALC, вычисления

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

определитель 4 порядка, пример

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

детерминант 4 порядка, сведение к треугольного вида

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

определитель четвертого порядке, сведение к верхней треугольной

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

детерминант 4-го порядка, сведение к треугольного вида

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

детерминант 4-го порядка, сведение к треугольного вида

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

определитель, произведение диагональных элементов
По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

матричный калькулятор, YukhymCALC, вычисления определителя 4-го порядка

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

определитель 4 порядка, найти

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

детерминант 4 порядка, сведение к треугольного вида

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

определитель 4 порядка, упрощения

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

детерминант 4 порядка, сведение к треугольного вида

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

определитель 4 порядка, упрощения

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

детерминант 4 порядка, вычисления

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

детерминант 4 порядка, нахождение

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

матричный калькулятор YukhymCALC, определитель 4 порядка

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений. В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций. Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.



Источник: yukhym.com


Добавить комментарий